คำนิยาม

การคูณ คือการกระทำ ระหว่างสองจำนวน และจะได้ผลการคูณออกมาเรียก จำนวนที่ มาคูณกันว่าตัวประกอบ ( factors ) และผลที่ได้เรียกว่า ผลลัพธ์ ( product )



สำหรับความหมายของการคูณ ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ n และ m ใดๆ

e57640f0c2a99d8b42816506ac577149.png

กล่าวสั้นๆ คือ 'บวก m เข้ากับตัวเอง n ตัว' สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้เพื่อให้ชัดเจนมากขึ้น
m × n = m + m + m + ... + m หมายถึงมีจำนวน 'm' n ตัวบวกกันนั่นเอง
  • 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
  • 2 × 5 = 5 + 5 = 10
  • 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
  • m × 6 = m + m + m + m + m + m


โดยใช้นิยาม เราสามารถพิสูจน์สมบัติของการคูณได้โดยง่ายดาย โดยดูจากสองตัวอย่างข้างต้น เรามีสมบัติว่า จำนวนสองจำนวนที่คูณกันสามารถสลับที่กันได้โดยผลคูณยังคงเดิม เราเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการสลับที่ และ สมบัตินี้เป็นจริงสำหรับจำนวน x และ y ใดๆ นั่นคือ
  • x · y = y · x.
นอกจากนี้ การคูณยังมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่อีกด้วย ความหมายสำหรับจำนวน x,y และ z ใดๆ คือ
  • (x · y)z = x(y · z).
  • (x · y)z = x(y · z).

    หมายเหตุจากพีชคณิต: เครื่องหมายวงเล็บ หมายถึง การดำเนินภายในวงเล็บจะต้องกระทำก่อนการดำเนินการภายนอกวงเล็บ
การคูณมีสมบัติการแจกแจง เพราะ
  • x(y + z) = xy + xz.

มีสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคูณกับ 1 นั่นคือ
  • 1 · x = x.
เราเรียก 1 ว่า จำนวนเอกลักษณ์สำหรับเลข 0 เราจะได้
  • m · 0 = m + m + m +...+ m
เมื่อเรานำ '0' m ตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็นศูนย์ นั่นคือ
  • m · 0 = 0


ไม่ว่า m จะเป็นจำนวนใด (แม้กระทั่งอนันต์).การคูณกับจำนวนลบอาจจะต้องมีการคิดเล็กน้อย เริ่มจากการคูณ (−1) กับจำนวนเต็ม m ใดๆ
  • (−1)m = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −m

นี่เป็นความจริงที่น่าสนใจว่า จำนวนลบ คือ จำนวนลบหนึ่ง คูณกับจำนวนบวกนั่นเอง เพราะฉะนั้นผลคูณระหว่างจำนวนบวกกับจำนวนลบทำได้โดยการคูณปกติ แล้วคูณด้วย (−1)
  • (−1)(−1) = −(−1) = 1


ในขณะนี้ เราสามารถสรุปการคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ ได้แล้ว และนิยามนี้ยังขยายไปสำหรับเซตของเศษส่วน หรือ จำนวนตรรกยะและขยายไปถึงจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน หลายคนอาจสงสัยถ้าบอกว่า ผลคูณของ'ไร้จำนวน' คือ 1

รูปแบบนิยามเรียกซ้ำของการคูณเป็นไปตามกฎ
  • x · 0 = 0 x · y = x + x·(y − 1)


เมื่อ x เป็นจำนวนจริง และ y เป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อเรากำหนดนิยามของการคูณจำนวนธรรมชาติแล้ว เรายังขยายผลไปถึงจำนวนเต็ม จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนได้